Lösningen till problemet för de yngre vecka 47

Mattegåta

I ett visst spel används mynt som är värda 1, 15 och 50 Hello Kitty-dollar. En spelare köpte ett svärd och fick i växel ett mynt fler än vad han betalade. Vilket är det minsta antalet dollar som svärdet kunde kosta?

Diskussion

Vid en första anblick verkar det vara konstigt varför 50 dollar-myntet överhuvudtaget är viktig för uppgiften. Det verkar ju rimligt att försöka handskas med så få mynt som möjligt, det vill säga betala med 15 dollar och få två stycker 1 dollar-mynt tillbaka. Det skulle ge priset 13 dollar.

Men det är inte säkert att det är det absolut minsta priset! Tänk på hur det kan bli om spelaren betalar med två mynt och får tre mynt tillbaka. Till exempel kan han betala 1+50 dollar och få 15+15+15 tillbaka. Och då kostar ju svärdet 6 dollar, vilket redan är lägre!

Då kanske det går att få ner priset ännu mer? Nu får vi ta och resonera ordentlig om hur betalningen kunde sett ut. Till exempel verkar det onödigt om spelar betalar med några 15 dollar-mynt och får också några tillbaka, det skapar bara onödig växling. Alltså kan vi reducera till fallen då mynt av olika sort var betalt respektive växel.

Vad finns det då för varianter? Som i exemplet ovan så går det att betala med 1 och 50 dollar-mynt och få bara 15 dollar-mynt tillbaka. I lösningen nedan ser vi att det inte blir fler signifikanta fall än så.

Lösning 1

Vi kan räkna med att spelaren betalade med några sorter mynt och fick bara andra sorter tillbaka i växel.

-Han kunde betala med valutorna på 1 och 15 dollar, och få bara 50 dollar-mynt tillbaka, men då skulle han få tillbaka mer än vad han betalade (eftersom han fick ett fler mynt i växel).
-Han kunde betala med valutorna på 15 och 50 dollar, och få bara 1 dollar-mynt tillbaka, men då skulle svärdet kosta åtminstone 13 dollar.
-Signifikant fall I. Han kunde betala med valutorna på 1 och 50 dollar, och få bara 15 dollar-mynt tillbaka.
-Han kunde betala med 1 dollar-mynt, och få bara 15 och 50 dollar-mynt tillbaka, men då skulle han få tillbaka mycket mer än vad han betalade.
-Han kunde betala med 50 dollar-mynt, och få bara 1 och 15 dollar-mynt tillbaka, men då skulle svärdet kosta åtminstone 20 dollar.
-Signifikant fall II. Han kunde betala med 15 dollar-mynt, och få bara 1 och 50 dollar-mynt tillbaka.

Om det är signifikant fall I, antag att han betalade a stycken 1 dollar-mynt och b stycken 50 dollar-mynt. Då fick han a+b+1 stycken 15-dollar mynt tillbaka. Då kan vi uttrycka priset:

a*1+b*50-(a+b+1)*15=priset

a*1+b*50-a*15-b*15-15=priset

b*35-a*14=priset+15

Notera att vänsterledet är delbart med 7, så högerledet måste vara det också. Så det minsta talet högerledet kan vara är 21, alltså är minsta priset i det här fallet 6 Hello Kitty dollar!

Om det är det signifikanta fallet II får vi i princip samma ekvation om vi antar att spelaren fick tillbaka a stycken 1 dollat-mynt och b stycken 50 dollar-mynt (då betalade han a+b-1 stycken 15 dollar-mynt). Även där blir minsta svaret 6 dollar.

Så 6 Hello Kitty dollar är det minsta svärdet kunde kosta! Det kunde ske genom att spelaren betalade 50 dollar och 1 dollar och fick tillbaka tre mynt värda 15 dollar var.

Lösning 2

Lösning 1 ger en idé till en annan lösning. Idén handlar om att delbarhet med 7 är intressant. Talen 1, 15 och 50 ger alla nämligen rest 1 vid division med 7.

Så om vi kollar hur mycket det blir kvar när vi tar bort så mycket sjuor som möjligt både från betalningen och växeln, så blir resten alltid 1 större för växeln (eller om betalningen hade rest 6 vid division med 7 kommer växeln att inte ge någon rest alls).

Svärdet ska kompensera för den skillnaden. Eftersom svärdets pris ska adderas till växeln för att få betalningen, måste priset ge rest 6 vid division med 7. Det minsta sådana talet är 6.

Adventspyssel 9

Som vanligt med adventgåtorna får ni skriva om ni har frågor, en lösning eller vill tipsa mig om något liknande.

Tändstickor

Du har 6 tändstickor och med hjälp av dem ska du bygga en figur som består av 4 liksidiga trianglar. Hur ska du göra om tändstickorna inte får brytas itu och du måste använda alla tändstickor?

Visa svaret

Vinnare bland äldre ht 2010!

Pam padadam! Terminens tävling för de äldre deltagarna (som har gått ut gymnasiet det vill säga) är slut och de bästa tre deltagarna blev:

Johan med 12 poäng

Erik S. aka Skägget med 10 poäng

Benjamin med 8 poäng

Bra jobbat med tanke på att det maximala antalet poäng var 14.

Enligt min tycke var den bästa lösningen den till problemet vecka 37, av Erik S., eftersom den var så härlig att läsa. Samtidigt är Johans lösning på samma problem väldigt finurlig, så den tyckte jag också mycket om.

Jag tackar de ovanstående och alla andra som deltog och bidrog med lösningar! Utan er skulle jag inte kunna ha en lika bra blogg!

Vinnarna kommer att få priserna tilldelade i januari och då kommer jag också förbereda en eventuell ny tävling. Skriv gärna till mig om ni har synpunkter på tävlingsformen, tävlingens längd och dylika saker.

Adventspyssel 8

Tom och Jerry

Katten Tom jagar Jerry, som gömmer sig i ett av fem råtthål, som ligger på rad. Tom kan sätta in tassen i ett av råtthålen i taget och om Jerry är där, fångar Tom honom. Om det är tomt drar Tom ut tassen, och då blir Jerry så rädd att han springer över till råtthålet till vänster eller till höger om där han nyss var.

Kan Tom garanterat fånga Jerry? Om ja, hur gör Tom? Om nej, hur kan Jerry försöka rädda sig själv?

Visa svaret

Lösningen till problemet för de äldre vecka 47

Mattegåta

I tio likadana kannor finns lite mjölk: varje kanna är full till max 10%. En tillåten operation är att ta en valfri kanna och hälla av en del av mjölken till de andra kannorna (lika mycket till varje övrig kanna).

Visa att 10 operationer räcker för att få kannorna att innehålla exakt lika mycket mjölk.

Diskussion

För det första kan kannorna innehålla väldigt ojämna mängder av mjölk, så det, att kannorna är fulla till max 10%, säger är att vi alltid kan hälla över mjölk, det blir alltså aldrig för fullt i någon kanna.

Vi ska få till lika mycket mjölk i varje kanna. Det känns inte som om vi kan hoppas på den sista överhällningen. Om det är ojämnt i många kannor, kan inte en enda överhällning (som ju häller lika mycket i varje icke-vald kanna) få alla kannorna att innehålla lika mycket. Alltså måste vi börja fixa kannor med lika mycket mjölk redan i början.

Börjar man på ett smart sätt får man att 9 operationer räcker.

Lösning (av Erik Svensson)

För att fördela mjölken jämnt mellan kannorna, låt oss använda följande algoritm:

Om alla kannorna har lika mycket mjölk i sig, då är vi klara. Annars kommer någon kanna ha mest mjölk och någon annan ha minst mjölk (om flera har mest eller minst väljer vi godtyckligt bland dessa), och mellan dem finns en viss skillnad i hur mycket mjölk de innehåller. Från den med mest mjölk häller vi till varje annan kanna en tiondel av denna skillnad. På det viset kommer den mest mest mjölk förlora nio tiondelar av skillnaden, och den med minst mjölk ökar med en tiondel av skillnaden, och således kommer de efteråt att innehålla lika mycket mjölk. Alla kannor, utom den vi häller ifrån, ökar sitt mjölkinnehåll lika mycket, vilket innebär att den kanna som hade minst mjölk innan operationen fortfarande kommer ha minst mjölk, tillsammans med den som nyss hade mest mjölk.

Sedan upprepar vi detta. För varje iterering tar vi den kanna som har mest mjölk och ser till att den jämnställs med alla kannor som har minst mjölk. Dessa kannor ändras inte i förhållande till varandra, och alltså kommer vår algoritm på detta vis att öka antalet såna jämnställda kannor med ett vid varje iterering. Efter högst tio itereringar kommer således alla kannor innehålla minst mjölk, det vill säga, de innehåller alla lika mycket mjölk.

Adventspyssel 7

En aning svårare gåta idag, som kräver påhittlighet! (Vilken av bloggens gåtor kräver inte påhittlighet egentligen …)

Klurigt uttryck

Du får använda talen 1, 3, 4 och 6, aritmetiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division) och parenteser. Med hjälp av dessa ska du bilda ett uttryck vars värde är lika med 24.

Det är bara dessa tal som får användas, och varje tal ska användas exakt en gång. Operationerna och parenteser för användas hur många gånger du vill. Det är otillåtet att sätta ihop talen som om de vore siffror, t.ex. är det otillåtet med 63 eller 146.

Hur ska du göra?

Visa svaret

Adventspyssel 6

Idag är gåtan inte alls mysig och julig, utan läskig!

Läskig sjukdom

En man fick en läskig sjukdom. Hans läkare skrev ut 4 till utseende exakt likadana specialtabletter (av två sorter) till honom, två tabletter av varje sort.

Läkaren varnade dock att om man tar mer än en tablett av någon sort åt gånger så dör man, om man tar mindre än den föreskrivna dosen åt gången så dör man, om man inte tar någon tablett alls så dör man. Tabletterna måste tas två gånger: 2 på morgonen (en av varje sort) och 2 på kvällen (en av varje sort).

Mannen råkade dock blanda ihop tabletterna hemma. Hur ska han garanterat överleva?

Visa svaret

Adventspyssel 5

Varje dag innan Jul kommer det publiceras en lite gåta eller något pyssel, och ni kära läsare får gärna skicka in egna bidrag till valentina.chapovalova@gmail.com!

Sierpenskis triangel

Mycket vacker konst kan göras av fraktaler. Nedan har man börjat konstruera Sierpenskis triangel, och det kommer ta låång tid att få den klart :)

sierpinski_lera

Bilden hittade jag på sidan Evil Mad Scientist.

Adventspyssel 4

Varje dag innan Jul kommer det publiceras en lite gåta eller något pyssel, och ni kära läsare får gärna skicka in egna bidrag till valentina.chapovalova@gmail.com!

Idag är det ingen gåta, utan ett pyssel.

Magisk fläta

Läder (som fått mjukna upp i exempelvis vatten) fungerar tydligen bra som material för att fläta remmar som sitter ihop. Följ det här schemat:

Själv provade jag med en pappersbit och misslyckades totalt! Är det någon som lyckats göra flätan?

Adventspyssel 3

Myntpåsar

Lydia har två påsar och 100 mynt. Hon måste fördela alla mynten i påsarna så att en påse innehåller dubbelt så många mynt som den andra. Mynten får inte delas itu. Hur ska hon göra?

Visa svaret

© 2009-2024 Mattebloggen